Ćwiczenie 1 Rachunek wektorowy. Kinematyka punktu materialnego.

ĆWICZENIA Z FIZYKI
GEODEZJA I KARTOGRAFIA I ROK STUDIA NIESTACJONARNE.
TEMAT 1: Elementy rachunku wektorowego. Układy odniesienia i układy współrzędnych. Kinematyka punktu materialnego.
ZADANIE 1
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są wektory a=[3;0;2], b=[0;0;2], c=[1;3;1].
a. Jaka jest długość wektora d = a+2b-c?
b. Wyznaczyć kąt między wektorem d i osią OX.
c. Wyznaczyć wektor jednostkowy, równoległy do wektora c, lecz o zwrocie do niego przeciwnym.
d. Znaleźć w płaszczyźnie xz wektor prostopadły do wektora a.
e. Wyznaczyć kąt między wektorami a i b.
f. Znaleźć wektor prostopadły do wektorów a i c.
ZADANIE 2
Oblicz kąt między jednostkowymi wektorami m i n, wiedząc, że ich iloczynem wektorowym jest wektor k = [½; ½; 0].
ZADANIE 3
Niech t oznacza skalarną zmienną rzeczywistą, wektor a=[-3; 4], wektor b=[2;0].
a. Znaleźć długość wektora c=(t2-1)a+2tb dla wartości t=2.
b. Znaleźć wektor prostopadły do wektora c dla t=1.
ZADANIE 4
Samolot przeleciał 10km w kierunku wschodnim, następnie skręcił na południowy zachód i przeleciał 25km i kolejny raz skręcił na północ lądując po pokonaniu kolejnych 20km.
a. Wybierz układ współrzędnych, zaznacz miejsce startu samolotu i znajdź składowe wektorów opisujących kolejne odcinki lotu.
b. Znajdź wektor przemieszczenia samolotu od miejsca startu do lądowania.
c. Określ położenie miejsca lądowania samolotu względem punktu startowego, podając jego odległość i kierunek przemieszczenia względem osi wybranego układu współrzędnych.
ZADANIE 5
Ciało rzucono z wieży o wysokości h w kierunku poziomym z prędkością v0 = [v0: 0].
a. Wybierz prostokątny układ współrzędnych i wyznacz wektor położenia ciała oraz wektory prędkości i przyspieszenia w dowolnym czasie t. Jakie ograniczenia na parametr czasu t narzuca warunek, że wieża stoi na poziomym terenie?
b. Znajdź jawną postać funkcji y(x) opisującej tor ciała w układzie współrzędnych, eliminując czas t z równań [x(t); y(t)]. Narysuj tor ruchu ciała w wybranym układzie współrzędnych. Jak nazywamy krzywą opisaną tą funkcją?
c. Wyznacz długość wektora przemieszczenia ciała od miejsca rzutu do miejsca upadku ciała w wybranym układzie współrzędnych, a następnie wybierz inny układ współrzędnych( zmieniając kierunek osi y na przeciwny i wybierając inny początek układu) i wykonaj te same obliczenia. Czy długość wektora przemieszczenie ciała i kształt toru zależy od wyboru układu współrzędnych?
ZADANIE 6
Położenie ciała w kolejnych momentach czasu t opisuje wektor r(t)= [v0(1-exp(-bt))/b; v1t-gt2/2].
a. Wyznacz wektory prędkości i przyspieszenia jako funkcje czasu t.
b. Wykaż, że ax = -bvx, czyli przyspieszenie w kierunku x jest proporcjonalne do wartości prędkości i ma przeciwny do niej zwrot.
c. Wyznacz wektory początkowego położenia ciała, prędkości i przyspieszenia( w chwili t=0).
ZADANIE 7
Koło o promieniu r obraca się ze stałą prędkością kątową w płaszczyźnie wokół osi przechodzącej przez punkt leżący w połowie długości promienia .
a. Wybierz układ współrzędnych i znajdź wektor wodzący punktów A I B leżących na przecięciu obwodu koła i średnicy przechodzącej przez środek koła i oś obrotu.
b. Narysuj tory tych punktów w wybranym układzie współrzędnych.
c. Znajdź wektory prędkości i przyspieszenia tych punktów i oblicz ich długości.